Les puissances, qu’est ce que c’est ? Comment retenir les formules de calcul? Pourquoi on parle de la particularité des puissances de 10 ? Nous allons développer tout cela ici.

L’écriture scientifique et comment calculer avec les puissances feront l’objet d’autres publications.

Retrouvez la vidéo ici

C’est quoi les puissances ?

Puissance signifie force. Oui mais en maths ???? quel est le lien ?

Prenons un exemple

2 c’est tout petit, pas très fort comme nombre.

Mais 2×2×2×2×2 c’est super fort, Ça  vaut 32 .

Comment l’écrire ?

2×2×2×2×2, On a envie d’écrire 2×5 mais c’est faux

En effet 2×5=10 donc ≠32

On a du chercher une autre manière… Et on a trouvé :

2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^5

Calculs avec les puissances

Mais on peut calculer avec ? Ce sont des nombres, donc oui on peut…

Addition et soustraction ?

Oui et non…

2^5+3^4 ne s’additionnent pas.

À moins de les calculer… mais l’idée des puissances c’est d’être utilisées en tant que puissance pour raccourcir les écritures ou les calculs

3^4+3^4=2\times 3^4

On peut additionner les mêmes nombres aux mêmes puissances.

Multiplication

On peut multiplier des mêmes nombres à la puissance différente

2^3\times 2^5=(2\times 2\times 2)\times(2\times 2\times 2\times 2\times 2)

On a donc 3 fois et 5 fois des multiplications de 2, soit 8 fois.

=2^{3+5}

=2^8

On peut donc écrire une formule générale (avec des lettres, si si !)

n^{a} +n^b=n^{a+b}

Puissance de puissance

Oui comme ça, ça fait étrange… mais on va l’expliquer…

Par exemple : {(2^4)}^3

Une fois développé ça donne :

2^4 \times 2^4 \times 2^4

Et en utilisant la règle précédente…

2^{4+4+4}

Soit : 2^{4\times 3}

Et donc 2^{12}

La formule générale sera : {(n^a)}^b=n^{a \times b}

Division

On peut diviser deux nombres identiques qui ont des puissances différentes.

Prenons un exemple :

\cfrac{6^5}{6^3}

Ce sera équivalent à : \cfrac{6\times 6\times 6\times 6 \times 6 }{ 6\times 6\times 6}

On peut simplifier cette fraction, car elle ne comporte que des multiplications de nombres identiques.

\cfrac{6 \times 6}{1} = 6^2

Au 5 nombres du « haut », on a enlevé les 3  nombres du « bas ». Soit 6^{5-3}

Donc la formule générale sera : \cfrac{n^a}{n^b} = n^{a-b}              

Remarque :

\cfrac{2^5}{2^5} = 2^{5-5} = 2^0 en utilisant la formule des puissances.

\cfrac{2^5}{2^5} = \cfrac{32}{32} = 1 en utilisant le calcul de la fraction.

Cela est un exemple qui montre que 2^0 = 1

En fait n’importe quel nombre à la puissance 0 vaut 1

On peut écrire que n^0=1

Remarque (encore une)

Si on a \cfrac{6^3}{6^5}

=\cfrac{6 \times 6\times 6}{6 \times 6\times 6\times 6\times 6}=\cfrac{1}{6^2} en calculant en mode fraction.

=6^{3-5} = 6^{-2} en calculant en mode puissance.

Donc \cfrac{1}{6^2} = 6^{-2}

La formule générale est : \cfrac {1}{n^a} = n^{-a}

Les formules

Puissances de 10

10 est un nombres comme les autres, donc les formules de puissances s’appliquent aussi.

Mais les puissances de 10 ont des particularités.

Puissances positives

Ecrivons les :

10^0 = 1 (normal)

10^1 = 10 (c’est lui même)

10^2 = 10 \times 10 = 100

10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000

On remarque que la puissance est égale au nombre de zéros.

Puissances négatives

Voyons ce que c’est pour les puissances de 10 :

10^{-1}= \cfrac{1}{10} = 0.1

10^{-2}= \cfrac{1}{10^2} = \cfrac {1}{100}= 0.01

10^{-3}= \cfrac{1}{10^3}= \cfrac {1}{1000}= 0.001

La puissance est égale au nombre de chiffres après la virgule.

Numération et autres …

Finalement on peut faire un tableau avec ça

On retrouve le tableau de la numération. Celui qu’on apprend petit à l’école, c’est le même !

Mais pas que…

On retrouve également les tableaux de conversion pour les distances, les masses et autres grandeurs

car, il faut préciser qu’en grec :

10 se dit déca

100 se dit hecto

1000 se dit kilo

Et en latin :

1/10 se dit déci (dixième)

1/100 se dit centi (centième)

1/1000 se dit milli (millième)

Utilisations

Les puissances s’utilisent beaucoup dans les calculs scientifiques et pour la notation scientifique.

Ce sujet sera traité dans une autre publication.

Merci

Si vous avez des questions, suggestions, propositions, n’hésitez pas à les mettre en commentaires